よい子わるい子ふつうの子

18禁PCゲームをメインに、ラノベや漫画についてもダラダラ話を書きます。長文多いです。

2012/09/09(日) 08:39:15

先日、「日刊SPA!」さんに掲載されて、一部で話題になったこの問題。なんでも、「小学生でも解けるのに大人は間違えやすい話題の算数問題」だそうです。ドレドレ。
【問1】
たろう君は自宅から花子さんの家までを、行きは時速4km、帰りは時速6kmで往復しました。このとき、往復の平均速度は時速何kmでしょうか?

「道のり・速さ・時間の問題は小学校で習う問題。10秒くらいでパッと答えられたらカッコいいな♪」(美優センセイ)

はあ、現役大学生タレントですか……。まあ三次元なんてぶっちゃけどうでも良いんですが(暴言)、この私に頭脳勝負を挑むとは良い度胸。なにせ私の頭脳力は530000です……ですが、もちろんフルパワーであなたと戦う気はありませんからご心配なく。

で、平均でしたっけ。時速4kmと6kmなんだから(4+6)わる2 で答えは時速5km! 小学生は4+(6わる2)で7とでも答えちゃうんでしょうか? 余裕でした





って、違うの!? マジで!?Σ(゚Д゚;

阿呆な独りツッコミはこの辺にしておきまして、答えは「4.8km/h」だそうです。上記リンクからも答えに飛べますが、一応美優センセイの解説はこちら。ふむふむ、わかったようなわからんような……。確かに、片道12kmと仮定すると解りやすいですね。

一般式で説明すると、たぶんこんな感じ。

花子さんの家までの片道の距離をaとおくと、往復の距離は2a。移動にかかった時間は、行きがa/4 時間。帰りがa/6 時間。合計は、a/4a/65a/12 時間。よって、平均時速は2a わる5a/12 時間で、24a/5a。イコール、4.8km/hである。

「小学生でも解ける」という触れ込みのせいでカンタンな問題であると思いきや、これ、実は意外と難しい。5kmじゃねーか! と思った人は私だけでは無いはずです。というか、言い訳ではありませんが5kmというのも完全に誤った解答とは言えない。いや、平均速度(平均時速)だから誤りは誤りですが、単に「平均」ならOKじゃないかと思います。どういうことかって? 平均が5kmか4.8kmかということで問題になるのは、「算術平均」と「調和平均」の違いです。

「算術平均」というのは「相加平均」とも言われます。そう言えば高校の数学で、「相加相乗平均」って出てきた気がするなぁ。要するに、フツーに足して、足した数で割る。普通「平均」と言うとこれのことを指します。Wikipediaセンセイも、そうおっしゃっています。

では、「調和平均」とは何か。定義としては、「逆数の算術平均の逆数」。ん、ちょっと何言ってるかわかりにくい……。こちらのページに詳しい説明がありますのでご参照ください。っていうか、「行きは時速4km、帰りは時速6kmで歩いた場合、平均時速は何kmですか」という問題の例がまるっきり同じやん。まあ、有名な問題だから仕方ないのかもしれませんが。

今回の美優センセイの問題で具体的なイメージを作ってみましょう。まず、「往復」というと面倒なので片道にします。たろう君の家から花子さんの家まで、時速4kmの甲君と、時速6kmの乙君が歩くのだと考えて下さい。

「相加平均」のイメージは、甲君と乙君の間を常に一定の間隔比率を保ったまま歩き続ける、ということです。こいつを丙君とすると、「甲君と丙君の距離」:「丙君と乙君の距離」=1:1になる。図で書くとこんな感じ。

相加平均

どの時点でも、甲君と乙君の中間地点にいる男。それが丙君です。これは、距離ベ−スで考えた平均であると言えます。

では、「調和平均」はどんな感じか。「調和平均」で歩く人を丁君とすると、丁君というのは「甲君と乙君が歩くのにかかった時間の平均で歩き続ける男」です。図にするまでもないというか、そもそも図にならない気がしますが、さっきのと対応するように描いてみるとこういう感じになるでしょうか。

調和平均

要するに、こっちは時間ベースで考えているということです。「時速」というのは距離を時間で割るわけですから、「平均時速」という場合は時間が基準になる「調和平均」のことを指すということになります。どうでしょう。多少イメージしやすくなっていると幸いです。

ただ、実を言うと上記のイメージは、厳密には少し嘘……というか表現しきれていない内容があります。美優センセイの問題を再び思い出して下さい。もし、たろう君が花子さんの家からの帰り道、大回りをして行きの倍の道のりを歩いたとしたら、どうなるでしょうか。行きを12km、帰りを24kmの道だと考えます。すると、行きは12/4で3時間。帰りは24/6で4時間。合計36kmを7時間で歩いたことになるので、「調和平均」の時速は36わる7で、5.142……km/h となります。直線距離にしているからわかりにくいのですが、甲君と乙君の歩く距離がそもそも違う場合、それも考慮してやらないといけない、ということですね。

なお平均には他にも、相乗平均とかがありますが今回は割愛。

どうして平均時速が5kmではないか、これで答えになったでしょうか。美優センセイが「小学生でも解ける」とナメナメで出してるこの問題、実は見えにくい二つの前提の上に成り立っているわけです。まず、「往復」する場合行きと帰りの距離は同じであるということ。そして、「平均速度」というのは基本的に調和平均を指すということ。前者はともかくとして、後者はなんでそうなのか、小学生に説明するのはかなり大変じゃないのかなあ。

というわけで今回は、現役女子大生に大人げなく喧嘩を売る 何気なく使っている「平均」という言葉にあえて引っかかってみる話でした。数学とか統計とか得意な人はもっと上手に説明できるのかもしれませんが、私にはこれが精一杯。気になった人はご自身で調べてみて下さい。そして、私に教えて下さい! (まるなげ)

それでは、また明日お会いしましょう。

このエントリーをはてなブックマークに追加   

「小学生にでも解る? 平均の話」を読んだ人はこんな記事も読んでいます
ながいながいタイトルのはなし (2013/10/03)
これは、気になります。 (2012/09/10)
トンデモ怪談 (2012/08/19)
コメント
コメントの投稿
( 関連性のないコメントやトラックバックは、削除されますのでご了承下さい )
管理者にだけ表示を許可する

トラックバック
トラックバックURLはこちら